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Cardinalidad de conjuntos






Cardinalidad de conjuntos

Vamos a formalizar el concepto de cardinalidad de conjunto que de una forma intuitiva se corresponde con el número de elementos de un conjunto. Principalmente se trata de ampliar el concepto, que queda claro para conjuntos finitos, a conjuntos infinitos.

La cardinalidad de un conjunto consiste en asociar a éste un elemento de un conjunto llamado cardinales de conjunto, que posee una relación de orden, de acuerdo con las definiciones que se indican a continuación. La cardinalidad de un conjunto A se simboliza por |A|.

  • Propiedad 1. Sean dos conjuntos A y B. ¦A¦ =< ¦B¦ si y solo si existe una función de A en B de forma que a todo elemento de A le corresponde uno distinto de B.

  • Propiedad 2. ¦A¦ = ¦B¦ si y solo si existe una función de A en B que es exhaustiva.

    Propiedad 3. ¦A¦ < ¦B¦ si y solo si ¦A¦ =< ¦B¦ y ¦A¦ # ¦B¦

    Se demuestra que: Si ¦A¦ =< ¦B¦ y ¦B¦ =< ¦A¦ entonces ¦A¦ = ¦B¦

    La cardinalidad de los conjuntos finitos coincide con el conjunto N de los número naturales más el cero (o sea, los enteros positivos). Para los conjuntos infinitos es necesario usar nuevos cardinales que no se corresponden con números naturales. Fue George Cantor quien desarrollaría esta última.

    Veamos algunos teoremas que se deducen:

    Se demuestra que el menor cardinal de un conjunto infinito coincide con el cardinal de N (los números naturales). Dicho de otra forma no existe ningún cardinal de un conjunto infinito menor que el cardinal de N.

    La cardinalidad de Z (números enteros) y Q (números racionales) es igual a la de N. Sin embargo la cardinalidad de R (números reales) es superior.

    También se demuestra que la cardinalidad de un conjunto es menor que la cardinalidad del conjunto de sus partes.

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